本文灵感来自于知乎《如何通俗易懂地解释卷积？》，知乎ID-palet，点击量 1.3万。

01 卷积定义及形象理解

首先复习卷积的定义。



卷积基本可以归纳为两个特点：

第一，一定是沿着某个固定的值（或者是变量）翻转；

第二，为了更加显著地展示卷积值如何形成的，翻转后还需平移。

原文解释卷积为：

翻转——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加.....

02 应用场景

场景一：信号叠加

示例图表示，一组输入信号经过系统信号的影响之后的信号衰减。

依据文章的信息，一组信号 f(t) 进入系统，t=1 时刻信号衰减为 f(9)g(1); t=2 时刻信号衰减为 f(8)g(2)。因此，t=t0 时刻信号衰减值可以用卷积公式表示。

那么在图像上怎么显示呢？

我们用“三步走”理解，第一，按照固定值翻转；第二，平移对齐；第三，对齐的值相乘。

原始的输入信号 v.s. 系统信号


(1) 按照固定值翻转


(2) 平移对齐 (3) 对齐相乘

场景二：骰子点数相加为 K 的概率

例如，投两个投资，点数相加为 4 的概率：



上述公式，展开来说就如下图，对应值相乘。比较有意思的问题，读者能猜测出 两个值相加等于几的时候概率最大吗？



你猜对了！两个点数值相加为 7 的时候概率最大！

场景三：图像模糊、锐化、边缘检测

文章提到图像的模糊、锐化，都是采用卷积进行的。另外，文章还提到，卷积通过上述解释的翻转和平移，其值相乘之后，获得的是最近的信息，并且，越靠近现在的信息，越有可能影响未来的值。

依据类比法则，图像中卷积公式，或者说 Edge Detection，按照笔者的理解，就是滤波器，使得图像某一块区域的信息受到“干扰”，呈现出模糊、锐化的效果。（仅作参考，欢迎指正）



如上图所示，小矩阵即滤波器，其与图像逐个像素值相乘而得出的新矩阵的所有元素之和，为滤波后效果。这个小矩阵称为 Convolutional Kernal，如果小矩阵的值全为1，此时 Detect 图像的部分，所有区域内的信息均涉及，效果为模糊。参考《数字图像处理:边缘检测(Edge detection)》，作者知乎ID-Rustle。

最后引用文章原文解释：



边缘检测随着图像识别而被人所熟知。边缘检测实则是滤波算法的一种。

离散形式下的梯度表示如图：

原图像某像素方向 [100, 90, 90, 90]

该像素方向梯度 [10, 0, 0, -1]

其中，-1 表示缺失值

那么，梯度如何用“小矩阵”来表示呢？上述文章给出 Sobel 算子的例子。下图的 Sx, Sy 表示 X 轴、Y 轴的边缘检测算子。

矩阵上的数值，显示了移动小矩阵过程中，灰度值的变化速度有多大。

03 概率论中的卷积公式

摘自《概率论~卷积公式》，知乎ID-lambda。

ShoelessCai 评注：概率论中卷积公式应用场景

• 卷积公式产生的一定是新的变量 Z


• 首先，换掉其中一个变量 X 或者 Y


• 其次，对剩余的随机变量积分，与上述对应的，对 dy 或者 dx


• 必然只含 z 这个变量

其实际含义，只要两个随机变量具有一定的限制，例如 Z = X + Y，就可以用卷积公式算出新变换变量的概率密度函数。一种计算新的随机变量密度函数的数学工具。