本章是数学运算常考题型，通常涵盖高中数学学习的等差、等比数列。

01 等差数列

经典真题-1 某人租下一店面准备卖服装,房租每月 1万元,重新装修花费 10万元。从租下店面到开始营业花费 3 个月时间。开始营业后第 1个月,扣除所有费用后的纯利润为3万元。如每月纯利润都比上月增加 2000 元而成本不变,问:该店在租下店面后第几个月内收回投资?

A.7     B.8     C.9     D.10

答案：A
分析：
1. 租店面到营业3个月，加上装修费，即 3*1+10 = 13万
2. 营业第一个月，纯利润3万，之后每个月增加2000元。因此，现金流 3, 3.2, 3.4 ……
3. 这道题思路，成本13万，至少4个月，不妨考虑：（1）3+3.2+3.4+3.6=13.2万 （2）3+3.2+3.4 两种方案。增量足够大3个月回本，增量一般的，4个月回本。


经典真题-2 电梯在竖直的矿井内匀速下降。王工程师对电梯开始下降后每分钟的海拔高度数值进行记录(将开始下降后第 n 分钟的读数记为a(n), 海拔高度在0以下时记为负数),发现 a(5)+a(6)>a(7)-a(8)，a(5)+a(7)
A.第6分钟之前     B.第6分钟到第7分钟     C.第7分钟到第8分钟     D.第8分钟以后
答案：B
分析：
每分钟下降是等差数列。a(5)+a(6)=2a(6)-d,a(7)-a(8)=-d 推出 a(6)>0
a(5)+a(7)=2a(7)-2d, a(8)-a(10)=-2d, 2a(7)-2d<-2d, a(7)<0
综上，第6分钟开始到0以下。


经典真题-3 某种糖果的进价为 12元/千克,现购进这种糖果若干千克, 每天销售 10 千克, 且从第二天起每天都比前一天降价 2 元/千克。已知以 6 元/千克的价销售的那天正好完最后 10 千克, 且总销售额是总进货成本的 2 倍。问:总共进了多少千克这种糖果?

A.160     B.170     C.180     D.190
答案：D
分析：
1. 售价24元，且是等差数列，因此 24为中项
2. 最后一天售价6元，共经过9天。24-2n=6，推出n=9。这个9的含义是，从中项24,递减到最后的6,要经历9个间隔。因此推断，经历天数 19 天。
3. 题目问的是重量，因此每天10千克，共进货 190 千克。Needless to say 这里首项 a(1) = 24+9*2=42元，关键“销售额是进价的两倍”含义为，销售均价是进价的两倍。


中公原题






等差数列求和公式

02 工程问题

记住公式： 工作总量 = 工作效率*工作时间

经典真题-1 甲、乙两人生产零件,甲的任务量是乙的2倍,甲每天生产 200 个零件,乙每天生产 150个零件,甲完成任务的时间比乙多2天,则甲乙任务量总共为多少个零件?

A.1200     B.1800     C.2400     D.3600

答案：B
分析：
1. 甲：任务2unit，每天加工200个零件，需要 x+2 天完成；
2. 乙：任务1unit，每天加工150个零件，需要 x 天完成。
3. 根据题意，200*（x+2) = 2*150*x，解得 x=4天，4*150*3=1800


经典真题-2 甲乙两人用相同工作时间共生产了 484 个零件,已知生产1个零件甲需5分钟.乙需6分钟。则甲比乙多生产的零件数是:

A.40个     B.44个     C.45个     D.46个
答案：B
分析：
1. 相同时间，共生产 484个零件。
2. 设工作时间为 t，t/5+t/6 = 484，推出 t=44*30
3. 时间相同，甲生产个数 44*30/5, 乙生产个数 44*30/6，故相差 44个


经典真题-3 甲、乙两个工程队承担了精准扶贫村的公路修筑任务,先是甲工程队单独修了10 天,完成了总工程的四分之一,接着乙工程队加人合作,完成剩余工程。在第 14 天完成到总工程的一半，则按照这种进度完成全部工程所用的天数比由甲单独完成这项工程少用的天数是:

A.12天     B.16天     C.18天     D.20天
答案：C
分析：
1.甲单独干10天，完成1/4。推导出全部工程40天；
2.甲乙一起干，14天时候干到一半；推导出 4天完成 1/4；因此，8天完成 1/2。
3.这种模式，共计 22天；甲单独干，共计 40天，减少了18天。


经典真题-4 某医疗器械公司为完成一批口罩订单生产任务,先期投产了A和B两条生产线, A和B的工作效率之比是 2:3, 计划 8 天可完成订单生产任务。两天后公司又投产了生产线 C, A和C的工作效率之比为2:1。问: 该批口罩订单任务将提前几天完成?

A.1     B.2     C.3     D.4
答案：A
分析；
1.A、B 两个生产线，效率 5 ，8天完成工程； 2.两天后加入C，即 1/4 用效率5， 3/4 用效率6；第一部分用时2天，第二部分用时（8-2）*5/6=5天。综上，共计7天，提前1天。


经典真题-5 某项工作,甲单独做要 18 小时完成,乙要 24 小时完成，丙要30小时才能完成。现按甲、乙、丙的顺序轮班做, 每人工作1小时后换班,问:当该项工作完成时,乙共做了多长时间?

A.7小时44分钟     B.7小时58分钟     C.8小时     D.9小时 10分钟
答案： A
分析：
1.设工作量最小公倍数 360，于是甲乙丙的效率分别为20，15，12
2.甲乙丙一个完整周期的效率 47，因此，360/47 = 7 ... 31。推出 工程结束时候，是乙在工作。
3.乙一共工作了 7 + 11/15 * 60 = 7小时44分钟


中公原题

03 行程问题

这类问题搞清楚路程、速度、时间，三者之间的关系。

经典真题-1 一辆汽车第一天行驶了5小时,第二天行驶了600 千来,第三天比第一天少行驶 200 千米,三天共行驶 18 小时,已知第一天的平均速度与三天全程的平均速度相同,则三天共行驶了多少千米?

A.800 O     B.900     C.1000     D.1100
答案：B
分析：
1.设第一天行驶x公里，由第一天平均速度是三天平均速度，得到 (2x-200+600)/18=x/5 得到 x=250
2.共经过的距离，250+600+50=900公里


经典真题 2 周末小芳和妹妹打算分别以坐出租车骑自行车的方式去离家10千米的电影看电影,小芳坐出租车的速度是妹妹骑自行车速度的2 倍。小芳比妹妹晚 15 分钟从家里出发,结与妹妹同时到达电影院。据此可知,妹妹骑自行车的速度为每小时:

A.10 千米     B.15千米     C.20 千米     D.40千米

答案：C
分析：
1.设妹妹速度v, 时间t, 故有 vt = 2v(t-1/4) = 10, 其中 1/4小时即15分钟； 2.解出 v = 20 km/h


经典真题-3 甲、乙二人分别从 A、B 两地驾车同时出发,匀速相向而行,甲车的速度是乙车的2/3, 两车开出6小时后相遇,相遇后以原速继续前进。问甲比乙晚几个小时到达目的地?

A.2     B.3     C.4     D.5
答案：D
分析：
1. 设甲速度：乙速度 = 2:3
2. 6小时后相遇，意味着路程长度 = 2*6+3*6
3. 甲剩余 5*6/2 = 15小时， 乙剩余 5*6/3 = 10小时，相差 5小时


经典真题-4 甲车上午8点从 A 地出发速开往 B 地,出发 30 分钟后车从A 地出发以甲车2倍的速度前往 B 地,并在距离B地 10千米时追上甲车。如乙车9点10分到达B 地问甲车的速度为多少千米/时?

A.60     B.45     C.36     D.30
答案：D
分析：
1. 依据题意梳理3等式
v * 0.5 + vt = dist - 10
2vt = dist - 10
2v * 40/60 = dist
2. 得出 v=30公里/小时


经典真题-5 丙地为甲乙两地之间高速公路上的一个测速点,其与甲地之间的距离是与乙地之间距离的一半。A,B 两车分别从甲地和乙,地同时出发匀速相向面行,第一次迎面相遇的位置距离丙地 500米。两车到达对方出发地后立刻原路返回,第二次两车相遇也为迎面相遇,则第二次相遇的位置一定：

A.距离甲地1500米
B.距离乙地1500米
C.距离丙地1500米
D.距离乙丙中点1500米
答案：B
分析：
1.这里注意，甲丙之间距离，是丙乙之间距离的一半。
2.答案用到了题目中没有的条件，先放一放。


经典真题-6 甲、乙两车早上分别同时从 A,B 两地出发驶向对方所在城市,在分别到达对方城市并各自花费 1小时卸货后,立刻出发以原速返回出发地。甲车的速度为 60 千米/时,乙车的速度Oh为40千米/时。两地之间相距 480 千米。问:两车第二次相遇距离两车早上出发经过了多少小时?

A.13,4     B.14.4     C.15.4     D.16.4
答案：C
分析：
1.答案没太看懂
2.笔者使用自发明的“时间表法”
3.按照题意，60t + 40t = 480，于是 t=4.8小时

时间表：
1. 4.8h，相遇
2. 8h, 甲到达目的地
3. 9h，甲出发
4. 12h, 乙到达
5. 13h, 乙出发
6. 乙出发之后，计算第二次相遇时间，40t1 + 240(甲已经跑过的) + 60t1 = 480
100t1=240, 推出 t1=2.4h。由于已经跑了13h， 15.4h


经典真题-7 一条圆形跑道长 500 米,甲乙两人从不同起点同时出发,均沿顺时针方向速跑步。已知甲跑了 600 米后第一次追上乙,此后甲加速 20%继续前进,又跑了 1200 米后第二次追上乙。问:甲出发后多少米第一次到达乙的出发点?

A.100     B.120     C.150     D.180
答案：D
分析：
1.不同点出发，首次追上时，多走的距离即甲乙两地之间相距的距离




经典真题-8 甲乙两船分别从上游的 A 地和下游的 B 地同时出发相向速行驶。甲船2小时后到达 B 地,随后立刻返航以原功率行驶,在3 小时后与乙船同时到达 A 地。则两船如果同时从A 地出发前往 B 地,甲船比乙船提前到达的时间在以下哪个范围内?

A.少于半小时
B.半小时~1小时
C.1小时~1个半小时
D.多于1个半小时
答案：B
分析：
1.本题目要计算水的速度，甲船划水，逆流3小时候，顺流2小时候
2.乙船逆流而上需要5小时，算上水的速度，计算出顺流的时间 30/11 小时
3.题目中说，甲顺水需要2小时，于是顺流时候时间差 = 30/11 - 2 = 8/11小时
ShoelessCai评论，这里容易忽略水的速度。


经典真题-9 一艘轮船先顺水航行 40 千米,再逆水航行 24 千米,共用了 8 小时。若该船先逆水航行 20 千米,再顺水航行 60 千米, 也用了8小时。则在静水中这艘船每小时航行多少千米?

A.11     B.12     C.13     D.14
答案：B
分析：
1.虽然可以用 v1+v2, v1-v2，但是两个方程，还是只能得出两个未知量的关系
2.不妨设 顺水的时候速度v1, 逆水速度 v2, 40/v1+24/v2=20/v1+60/v2
3.v1:v2 = 5:1, 进而推出v船：v水=3：2，船速应该是3的倍速


中公真题

04 利润问题

利润 = 售价（收入） - 成本（支出）

利润率 = 利润 / 成本 = （售价-成本）/成本 = 售价/成本 - 1

打N折 = 售价 + 原价*10
经典真题-1 某商场柜台销售一款时装,若将进价的 20%作为利润,则销售价为 240 元。若该款时装销售价为 300 元,此时利润率是:

A.50%     B.45%     C.40%     D.35%
答案：A
分析：
1.2P=240元


经典真题-2 一台全自动咖啡机打八折销售,利润为进价的 60%,如打七折销售, 利润为 50 元。则这台咖啡机的原价是多少元?

A.250     B.240     C.210     D.200
答案：A
分析：按照题意列出等式即可


经典真题 3 甲商店购人 400 件同款夏装。7 月以进价的 1.6 倍出售,共售出 200 件;8 月以进价的 1.3 倍出售,共售出 100 件;9 月以进价的 0.7 倍将剩余的 100 件全部售出,总共获利 15000元。则这批夏装的单件进价为多少元?

A.100     C. 125     B.120     D.144
答案：C
分析：按照题意列出等式


经典真题-4 某公司 A 商品利润为定价的 30%, 前年销量为 10 万个, B 商品利润为定价的40%, 前年销量为4 万个。去年公司将 A,B 商品捆绑销售,售价为前年两种商品定价之和的 90%,共卖出 8 万套,总利润比前年增加了 20%。如两种商品去年的成本与前年相同,则前年 A 商品的定价为 B 商品定价的:

A.24%     B.25%     C.30%     D.36%
答案：A
分析：
1.设A商品定价x, B商品定价y。于是，A商品0.7x，B商品0.6y
2.第一年利润，0.3x*10+0.4y*4=3x+1.6y；第二年利润，[(x+y)*0.9 - 0.7x - 0.6y]*8=1.6x+2.4y
3. 第二年利润 / 第一年利润 = 1.2 ,得出 x/y = 0.24


中公真题

05 排列组合问题

讲课


经典真题-1 将 5 个不同颜色的锦囊放入4 个不同的锦盒里,如果允许锦盒是空的,则所有可能的放置方法有:



答案：B


经典真题-2 环保局某科室需要对四种水样进行检测,四种水样依次有 5,3、24份,检测设备完成四种水样每一份的检测时间依次为 8 分钟4 分钟、6 分钟7 分钟。已知该科室每日最多可使用检测设备 38 分钟,如今天之内要完成尽可能多数量样本的检测,问:有多少种不同的检测组合方式?

A.20     B.15     C.10     D.6
答案：D
分析：
这里的基本思想，就是先放入测试时间少的，因此样本2和3都是填满 time slot的，最后样本4只能放入2个样本，因此是 C(2,4) = 6种


经典真题-3 为加强机关文化建设,某市直机关在系统内举办演讲比赛, 3 个部门分别派出 3 名、2名、4 名选手参加比赛。要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连,问:不同参赛顺序的种数在以下哪个范围之内?

A.616     B.1848     C.5600     D.5656
答案：D
分析：
政治课都是2课时，56种选择；专业课有几种选择，主要是选5门2课时，选4门2课时和2门1课时，选3门2课时和4门1课时。


经典真题-5 两对夫妇各带一个小孩乘坐有 6 个座位的游览车,游览车每排只有 1个座位。为经典真题 5安全起见,车的首尾两座一定要坐两位爸爸,两个小孩一定要在相邻位置。那么,这 6 人的排座方法有:

A.12种     B.24种     C.36种     D.48种
答案：B
分析：


经典真题-6 扶贫干部某日需要走访村内 6 个贫困户甲、乙、丙丁、和己。已知甲和乙的走经典真题 6访次序要相邻,丙要在丁之前走访,戊要在丙之前走访,己只能在第一个或最后一个走访。问:走访顺序有多少种不同的安排方式?

A.32     B.48     C.16     D.24
答案：C


中公真题

06 概率问题

07 和定最值问题

08 容斥问题

09 几何问题

10 函数图像