原标题：马尔科夫链和隐式马尔科夫链
01 马尔科夫链
马氏链 v.s. 马氏性
任意 n>0，有限或可列个 i 取值，有以下等式成立
随机过程 {Xn, n=0,1,...} 称为“马氏链”，马氏链的特性，称为“马氏性”。
条件独立
注意，这是本站自行总结的。因为 Jingyi 本身也没有太多同行 Review，如果读者觉得哪里有误，欢迎给我们留言。进一步，我们也会在今后工作中，遇到错误及时纠正的。
如果同时满足 【条件A】 和 【条件B】 才发生的事情，依据马氏性质，可能 i-1 状态是 【条件A】，此时有以下等式成立：
P{事件1 & 事件2 | 条件A} = P{事件1 | 条件A} * P{事件2 | 条件A}
条件独立的变形
注意，这是本站自行总结的。因为 Jingyi 本身也没有太多同行 Review，如果读者觉得哪里有误，欢迎给我们留言。进一步，我们也会在今后工作中，遇到错误及时纠正的。
这个性质告诉我们，如果同时满足 【事件1】 和 【事件2】 同时发生，依据马氏性质，有以下等式成立：
P{事件发生 | 条件A & 条件B} = P{事件发生 | 条件A}
如果 i-1 状态是【条件B】，此时又以下等式成立：
P{事件发生 | 条件A & 条件B} = P{事件发生 | 条件B}
一步转移概率
P{X(n+1)=j | X(n}=i } = p_ij 称为“一步转移概率”。
如果一步转移概率与 n 没关系，则为“时齐马氏链”。
上述 p_ij 组成的矩阵，称为“转移概率矩阵”，注意，每列相加为 1。
时间不变性
这种只和上一个状态有关的概率，是不随着时间改变的。称为“时间不变性”。
02 隐式马尔科夫链
隐马尔可夫模型（HMM，Hidden Markov Model） ： 一种强大的统计工具，通过描述隐藏的马尔可夫链和观测序列之间的关系，其核心组成部分包括
隐藏状态、观测序列、相关的概率分布、概率矩阵。
系统的真实状态（隐藏状态）是不可见的 ，我们只能观察到与这些隐藏状态相关的输出。
如何理解这句话？
依据腾讯云这篇文章《
哈工大学习笔记 | 图文并茂详解隐马尔可夫模型》，我们可以用比较“形象”的感觉，来认知 HMM。
首先，我们先确定，传统的马尔科夫过程，这么来表示：
(S, P_start, A)
状态集合 S，
初始概率 P_start,
状态之间的转移概率 A。
其次，我们再记住，隐式马尔科夫链（HMM），其抽象表达式：
(S, K, P_start, A, B)
状态集合 S，
输出的字符集合 K，
初始状态概率 P_start，
状态转移概率 A，
转移时输出字符的概率 B。
这里从 HMM 参数差异来理解，隐式马尔科夫链是什么，至少，有两个参数会被记录，用于描述“中间输出的字符，及其对应的概率”。
再者，看个案例。
该图可以写成如下的形式：
S = {*, t, e, a, o}
P_start = (1, 0, 0, 0, 0)
上述矩阵，记为 A。
隐马尔可夫模型与马尔可夫模型不同的是各个状态（或者状态转移弧）都有一个输出，但是状态是不可见的。
最简单案例：不同状态，不同输出，输出toe
P{toe}
= 0.6 * 0.88 * 1 = 0.528
增加难度：不同状态，相同输出，输出toe
这里我的理解是，这一步，我们考察从 t->e 路径及其分布。注意，t->e 有好几条路径，案例中选取权重最小的路径。
P{toe}
= 0.6 * 0.88 * 1
+ 0.4 * 0.1 * 1 = 0.528
增加难度：不同状态，相同输出，输出toe。但是，a 有一定概率转移到起点，或者 t。
其中第三、第四行的概率，是增加的灵活性，进而形成隐式马尔科夫链。
增加难度：不同状态，相同输出，输出toe。如果，每个点都给到一些概率，使得点转移到其他点。这种概率分布，怎么刻画？
P{toe}
= 0.6 * 0.88 * 1
+ 0.4 * 0.1 * 1
+ 0.4 * 0.2 * 0.3
+ 0.4 * 0.2 * 0.4 = 0.624
HMM： 在状态转移中以特定的概率分布输出
P{toe}
= （0.6*0.8） * （0.88*0.7) * (1*0.6)
+ (0.4*0.5) * (1*1) * (0.88*0.2)
+ (0.4*0.5) * (1*1) * (0.12*1) = 0.237
这个转移到 e 的概率小是因为，过程中以一定概率直接输出，这种输出概率，转移方式，都类似马尔科夫链。这种刻画某种事物的方式，称为“隐式马尔科夫链”。
03 HMM 应用
隐马尔科夫模型的应用，主要聚焦于处理语音和语言问题。对普通的大众来说，语音识别是最直接的 AI 领域之一。从手机软件的语音拨号，到科大讯飞的语音识别系统，再到苹果助理Siri，对话机器人，都或多或少地用到了语音识别的功能。
隐马尔可夫模型，可以分析观察序列得到隐含序列。然而，单纯地使用马尔科夫模型是不对的，我们并不知道马尔科夫模型里的概率，也即一个声音怎么就对应到汉“西湖”，怎么就对应到英文 “Moon River”了？应对这个问题（也称为“痛点”），学者们不打算用一蹴而就的方法，能够
根据一个简单的概率估计 就算出四海皆准的
概率表（即单词之间的映射，是一个概率分布，这部分是 HMM），而是通过大量的数据进行统计并且通过其他方法修正。
数据来源方面，在《数学之美》中讲到，语言学家马库斯认识到建立标准语料库(corpus)，并强调该数据库对语言研究的重要性。建立语料库的过程是这样的：从《华尔街日报》中选取一些真实的英语语句，进行词性标注，再加入语法树构建。有了文字语料库，还可以继续添加语音，机器翻译的语料库，供世界上的学者研究。值得一提的是，最近在学习得到听书学习《我看见的世界》，说到斯坦福 AI 科学家李飞飞，她组建并维护了图像数据库 ImageNET。
在上世纪90年代，其核心框架就是用隐马尔科模型对语音的时序进行建模，而用高斯混合模型（GMM）对语音的概率进行建模。而在2006年著名学者辛顿提出深度神经网络(DNN)的模型之后，人们普遍采用了DNN来替换GMM，以提高模型的效果。
参考文献
[1] zenRRan（2019），哈工大学习笔记 | 图文并茂详解隐马尔可夫模型，腾讯网，2019
[2] 北京大学数学系（2024），马氏链，北京大学数学系，2024
[3] stackupdown（2017），隐马尔可夫模型及其典型应用，博客园，2017 
沪公安联网 31011502019103