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第七章 机械振动和机械波
| 大标题 |
小标题 |
| 一、简谐振动 |
1.机械振动
2.简谐振动
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| 二、阻尼振动受迫振动 |
1.阻尼振动
2.受迫振动
3.振动的合成
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| 三、机械波 |
1.波的形成
2.波的公式
3.波动方程
4.声波
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| 四、波的特有现象 |
1.波的反射
2.波的折射
3.波的衍射
4.波的干涉
5.多普勒效应
6.驻波
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从这个章节开始，尝试一些 Acoustic Learning。其实这种修复方法很简单，就是自己给自己讲课，你在讲课过程中，脑子在动、眼睛再看、耳朵在听自己的声音，嘴巴还要发音清楚。是非常锻炼能力的！
关于简谐振动的部分。
2024.8.29 周四
2024.8.30 周五
这里面有个点讲错了。就是加速度 a_M，这个加速度是“径向加速度”，指向圆心。同一个公式中的速度 v_M，是切向速度。
一、简谐振动
1.机械振动
机械振动（简称，振动）：物体在某一位置附近沿着直线或弧线，作往复运动。物体回到的位置，称为“平衡位置”。
回复力：使得力回到平衡位置的力，称为“回复力”。
关于回复力和位移的关系，这里要注意，k 未必是弹性系数，只是一个比例系数。
位移与时间 t 关系
角频率的表达式
周期（固有周期）表达式
简谐振动的几何表示 —— 换一种理解方式吧！
图 1-1
依据上图，一束光自上而下将质点 M 投影在 x 轴上，投影位置的移动，即“简谐振动”。
而在 x 轴上的具体坐标
依据 图1-1 我们感官上理解【切向速度 v】 和 【径向加速度 a】
速度和加速度之间的关系
注意到，针对一个简谐振动的系统。系统机械能 = 动能 + （弹性）势能，其中，系统机械能 E，动能 E_k，（弹性）势能 E_p。
动能表达式
弹性势能表达式
由于弹簧的弹性系数 k = m*v^2
根据上式，我们还能推出角频率表达式
2.简谐振动
这段也是有真人声音的。
二、阻尼振动受迫振动
1.阻尼振动
定义：振幅随着阻力会逐渐减小的简谐振动。
阻力系数 γ，于是阻力表达式
如果阻力系数不大的时候，振动的位移表达式，振动方程
阻尼系数 / 衰减因子 β 表达式
阻尼运动的圆频率表达式，w0 固有圆频率
* β< w0，阻尼振动发生；
* β> w0，x 随着时间 t 指数衰减，称为“过阻尼”；
* β= w0，临界阻尼，停留平衡位置时间最短。
2.受迫振动
定义，受到周期外力（驱动力）作用，发生的振动，称为“受迫振动”。
驱动力 f 随着时间正弦变化，表达式
其质点的位移表达式，即振动方程
受迫运动稳定的时候，振动频率为驱动力频率。注意，这个“振动频率”和系统固有频率是无关的，但是振幅和固有频率有关。
振幅对角频率的偏导为 0 的时候，振幅可以表示成，此时取值最大
如果振幅达到上述表达式，说明达到“共振”。ESP，阻尼系数为 0，角频率为固有频率的时候，振幅 A 趋于无限大。
3.振动的合成
定义，一系列振动的叠加。
（1）同向、同频
合成的振动方程
解出振幅 A 的表达式
以及 初始相位 的正切表达式
说明：
（a）两个初始相位相等的时候，φ1=φ2，振幅最大，即 A=A1+A2；
（b）两个相位相差 180度，振幅最小，A=|A1-A2|；
（c）取值范围 |A1-A2| <= A <= A1+A2
（2）同向，近似频率
振动方程（位移表达式）
推出，振幅表达式
推出，角频率表达式
注意，这类振动，称为“拍”。变化的周期，是振动周期的一半。
图示意周期变化，这里留个疑问。
（3）垂直向，同频
求表达式的基本思想，即消去 t 之后，求出轨迹方程，其实也是 x, y 表达式。于是，仅含有 x, y 的轨迹方程
说明：
（a）两个初始相位相。
（b）两个初始相位，相差 180 度。
（c）两个初始相位，相差 90 度。
三、机械波
1.波的形成
弹性介质中，质点振动，会对周围产生弹力作用，使之跟着一起振动，“点带点”逐渐在介质中传播开来。称为“机械波”。
2.波的公式
机械波传播过程中，速度、频率、周期的关系
（1）沿着 x 轴正向传播
（2）沿着 x 轴负向传播
圆波数、角波数（一个波长消耗的相位数量）
3.波动方程
简谐振动的能量守恒，其中，距离 r1有振动 A1，距离 r2 有振动 A2
距离 r 振幅 A 球面简谐波动方程
4.声波
声音振动在介质中传播，称为“声波”。声波，是纵波。人耳能听到的，范围 20 - 20000 赫兹之间，超过 2 万赫兹的是超声波，低于 20 赫兹的是次声波。
声强波，单位分贝，范围 0-120 分贝。
四、波的特有现象
1.波的反射
注意，这边不算特别懂，请读者注重找一些其他资料。
（1）入射角等于反射角；
（2）以振幅 A 为半径作圆 O，质点与 x 轴交点，过交点作圆 O 的切线，这些切线即为机械波的包络面。包络面与 x 轴夹角，两边对称相等。
这里提到的“波面”的概念，书上还是略微模糊。暂时先放一放。
2.波的折射
波的入射角怎么确定？
按照上图，我们可以理解为，t 时刻有一个波面，而 t+t_delta 时刻的波面是自己作切线，画出来的。
当我们要求出折射角的时候，t 时刻的波面不变。此时，考虑圆 O 在 x 轴下方的部分（反射角考虑的是 x 轴上方的部分）。如果该波传到 x 轴，交于 A1 点。此时，过点 A1 作圆 O 下方部分切线，通过这种方式，确定折射角。
3.波的衍射
定义，绕过障碍物，沿着原来的方向，继续传播。
4.波的干涉
定义，频率相同，相位差恒定，相互干涉。
（1）相位差 2kPi，合振幅最大，干涉极大；距离 r1, r2 满足
（2）相位差 2kPi + Pi，合振幅最小，干涉极小。距离 r1, r2 满足
其中，k 属于干涉次级。
5.多普勒效应
定义，观察者在路边观察“动”的波源，观察到的频率，与波源振动频率不一致，称为“多普勒效应”。机械波波速 v，是振动状态相对介质的传播速度。
针对 Receiver 观察到的频率 f_R 有如下表达式
观察到的频率，可以这么表示
多普勒有一点很重要，移动的 sender 波源，体现在 receiver 看到的波长和频率上。注意，对于波本身而言，是没变的，但是人的感觉变了。
依据速度、频率、波长关系，可以得到 Receiver 看到的波长
进而达到 Receiver 频率
6.驻波
两个机械波叠加，合成波的方程
振幅表达式
振幅最大，称为“波腹”；振幅最小，称为“波节”。
波腹位置
波节位置
驻波特点：
（1）波形不变；
（2）振幅与 t 无关，与 x 呈现周期变化；
（3）相邻两个波节之间，各点振动相位相同；留个疑问。
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沪公安联网 31011502019103